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無解的方程：從丟番圖到伽羅瓦

為了解決根公式的問題，作者韓旭 這樣論述：

《無解的方程》從底層開始搭建數學，忠實複現了現代數學的架構，展示了人類理性求索的歷程，並以尋找五次方程求根公式為例，給出了一個完整的拆解問題、明確定義、分析抽象、演繹推理、得到答案的過程。 《無解的方程》以人稱視角敘述，自然生動。但是，不同於一般的科普書，本書未放棄與喪失一絲現代數學的完整性與嚴密性。另外，全書縱向跨度很大，從底層的形式系統到z高層的伽羅瓦理論，會為讀者呈現非常多哲學與數學的發展脈絡。 《無解的方程》面向受過初中教育及以上的人群，旨在普及與激發理性、思辨、求索之精神。  

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七年級學生解一元一次方程式錯誤類型分析之研究—以高雄市岡山區為例

為了解決根公式的問題，作者倪柏彥 這樣論述：

本研究旨在探討藉由自編的「一元一次方程式單元測驗」，來探討高雄市岡山區七年級學生解一元一次方程式之錯誤類型與錯誤原因。本研究之對象為高雄市岡山區某國中已學習過一元一次方程式單元的七年級學生為施測對象，共217人。透過自編的「一元一次方程式單元測驗」為研究工具，了解學生在一元一次方程式單元的作答情形，針對較具錯誤類型代表的學生，藉由晤談的方式，進一步探討學生發生錯誤的原因。 研究結果發現七年級學生在「一元一次方程式單元測驗」之錯誤類型如下：1. 四則運算、等量公理與移項法則計算錯誤2. 對文字符號運算規則不清楚3. 分配律去括號展開錯誤4. 並未了解文字題的題意或

不知如何列式5. 搞混一元一次方程式與一元一次式的運算規則 研究結果發現七年級學生在「一元一次方程式單元測驗」可能錯誤原因如下：1. 先備知識的不足2. 對一元一次方程式的定義不清楚3. 舊知識與新觀念相互干擾4. 計算上的錯誤 最後根據本研究所得的結論，期望能提供教師進一步了解學生學習本單元後的想法，以及在本單元中所可能遭受到的困難及盲點，作為教師實施補救教學及改進教學策略的依據，以增進學生學習本單元的學習成效，並可提供教師教學及未來研究的參考，以提高教師的教學效能與學生的學習成效。

數學女孩（5）：伽羅瓦理論

為了解決根公式的問題，作者（日）結城浩 這樣論述：

《數學女孩》系列以小說的形式展開，重點描述一群年輕人探尋數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為“絕贊的數學科普書”。《數學女孩5：伽羅瓦理論》從鬼腳圖講起，結合二次方程式的求根公式、尺規作圖、群和域等知識，最終帶領讀者進入伽羅瓦理論的世界，還原伽羅瓦短暫的一生中璀璨不朽的數學成就。整本書一氣呵成，非常適合對數學感興趣的初高中生以及成人閱讀。 結城浩   生於1963年，日本知名技術作家和程式師。在編程語言、設計模式、數學、加密技術等領域，編寫了很多深受歡迎的入門書。代表作有《數學女孩》系列、《程式師的數學》《圖解密碼技術》等。 序言 第

1章　有趣的鬼腳圖 1 1.1　 交錯的鬼腳圖 1 1.2　 溢出的鬼腳圖 5 1.2.1　計算數量 5 1.2.2　尤裡的疑問 7 1.3　 理所當然的鬼腳圖 8 1.3.1　冰沙 8 1.3.2　無可替代之物 8 1.3.3　可以畫出鬼腳圖所有的排列模式嗎？ 9 1.4　 有趣的鬼腳圖 14 1.4.1　3 條分隔號 14 1.4.2　鬼腳圖的2 次方 16 1.4.3　鬼腳圖的3 次方 18 1.4.4　繪圖 20 1.4.5　解開深層謎題 23 第2章　睡美人的二次方程式 25 2.1　 2次方根 25 2.1.1　尤裡 25 2.1.2　負數×負數 26 2.1.3　複數平面 27

2.2　 求根公式 29 2.2.1　二次方程式 29 2.2.2　方程式與多項式 31 2.2.3　推導二次方程式的求根公式 32 2.2.4　傳達心情 36 2.3　 解與係數的關係 37 2.3.1　泰朵拉 37 2.3.2　解與係數的關係 37 2.3.3　整理思緒 41 2.4　 對稱多項式與域的觀點 42 2.4.1　米爾嘉 42 2.4.2　再探解與係數的關係 42 2.4.3　再探求根公式 49 2.4.4　回家的路上 56 第3章　探索形式 61 3.1　 正三角形 61 3.1.1　醫院 61 3.1.2　再次發燒 70 3.1.3　夢的結局 71 3.2　 對稱群的形

式 73 3.2.1　閱覽室 73 3.2.2　群公理 74 3.2.3　公理與定義 83 3.3　 迴圈群的形式 86 3.3.1　前往“加庫拉” 86 3.3.2　結構 86 3.3.3　子群 87 3.3.4　基數 91 3.3.5　迴圈群 92 3.3.6　阿貝爾群 95 第4章　與你共軛 101 4.1　 閱覽室 101 4.1.1　泰朵拉 101 4.1.2　因式分解 102 4.1.3　數的範圍 104 4.1.4　多項式的除法 106 4.1.5　1 的12 次方根 108 4.1.6　正n邊形 110 4.1.7　三角函數 111 4.1.8　出路 114 4.2　 迴圈群

115 4.2.1　米爾嘉 115 4.2.2　12 個複數 116 4.2.3　製作表格 118 4.2.4　共有頂點的正多邊形 119 4.2.5　1 的原始12 次方根 122 4.2.6　分圓多項式 124 4.2.7　分圓方程式 130 4.2.8　與你共軛 132 4.2.9　迴圈群與生成元 133 4.3　 模擬考試 136 第5章　角的三等分 139 5.1　 圖的世界 139 5.1.1　尤裡 139 5.1.2　角的三等分問題 140 5.1.3　對於“角的三等分”問題的誤解 144 5.1.4　尺子與圓規 145 5.1.5　可以作圖的意義 147 5.2　 數的世界

148 5.2.1　具體例子 148 5.2.2　通過作圖實現加減乘除運算 151 5.2.3　通過作圖開根號 154 5.3　 三角函數的世界 158 5.3.1　雙倉圖書館 158 5.3.2　理紗 159 5.3.3　離別之際 163 5.4　 方程式的世界 164 5.4.1　看穿結構 164 5.4.2　用有理數練習 169 5.4.3　一步的重複 172 5.4.4　能進入下一個步驟嗎？ 173 5.4.5　發現了嗎？ 176 5.4.6　預測與定理 178 5.4.7　出路在哪裡？ 180 第6章　支撐天空之物 187 6.1　 維度 187 6.1.1　廟會 187 6.1

.2　四維世界 188 6.1.3　章魚燒 190 6.1.4　支撐之物 192 6.2　 線性空間 194 6.2.1　閱覽室 194 6.2.2　座標平面 196 6.2.3　線性空間 199 6.2.4　R上的線性空間C 202 6.2.5　Q上的線性空間Q(√2) 203 6.2.6　擴張的程度 208 6.3　 線性獨立 212 6.3.1　線性獨立 212 6.3.2　維度的不變性 216 6.3.3　擴張次數 217 第7章　拉格朗日預解式的秘密 221 7.1　 三次方程式的求根公式 221 7.1.1　泰朵拉 221 7.1.2　紅色卡片：契爾恩豪森轉換 222 7.1.3

　橙色卡片：解與係數的關係 225 7.1.4　黃色卡片：拉格朗日預解式 227 7.1.5　綠色卡片：3 次方的和 231 7.1.6　藍色卡片：3 次方的積 236 7.1.7　靛色的卡片：從係數到解 238 7.1.8　紫色卡片：三次方程式的求根公式 243 7.1.9　描繪“旅行地圖” 244 7.2　 拉格朗日預解式 248 7.2.1　米爾嘉 248 7.2.2　拉格朗日預解式的性質 253 7.2.3　能應用於其他例子嗎？ 257 7.3　 二次方程式的求根公式 258 7.3.1　二次方程式的拉格朗日預解式 258 7.3.2　判別式 261 7.4　 五次方程式的求根公式 2

63 7.4.1　五次方程式是什麼 263 7.4.2　“五”的意義 264 第8章　建造塔 267 8.1　 音樂 267 8.1.1　咖啡廳 267 8.1.2　邂逅 269 8.2　 講課 270 8.2.1　閱覽室 270 8.2.2　擴張次數 270 8.2.3　擴域與子域 271 8.2.4　Q(√2)/Q 273 8.2.5　出題 275 8.2.6　Q(√2,√3)/Q 276 8.2.7　擴張次數的積 279 8.2.8　(Q(√2+√3)/Q) 282 8.2.9　最小多項式 284 8.2.10 新發現？ 288 8.3　 信 293 8.3.1　歸途 293 8.3.

2　家 294 8.3.3　信 295 8.3.4　規矩數 295 8.3.5　晚餐 297 8.3.6　朝著方程式的可解性前進 298 8.3.7　最小分裂域 300 8.3.8　正規擴張 300 8.3.9　面對真實的對象 303 第9章　心情的形式 307 9.1　 對稱群S3 的形式 307 9.1.1　雙倉圖書館 307 9.1.2　類別 313 9.1.3　陪集 317 9.1.4　整齊的形式 319 9.1.5　製作群 322 9.2　 寫法的形式 329 9.2.1　Oxygen 329 9.2.2　置換的寫法 330 9.2.3　拉格朗日定理 332 9.2.4　正規子群的

寫法 337 9.3　 部分的形式 337 9.3.1　孤零零的 2 337 9.3.2　探索結構 338 9.3.3　伽羅瓦的正規分解 339 9.3.4　進一步除以C3 340 9.3.5　除法與同等看待 344 9.4　 對稱群S4 的形式 348 9.5　 心情的形式 351 9.5.1　Iodine 351 9.5.2　熄燈時間 352 第10章 伽羅瓦理論 355 10.1　 伽羅瓦節 355 10.1.1 簡略年表 355 10.1.2 第 一論文 358 10.2　 定義 361 10.2.1 定義（可約與既約） 361 10.2.2 定義（置換群） 364 10.2.3 兩

個世界 366 10.3　 引理 367 10.3.1 引理1（既約多項式的性質） 367 10.3.2 引理2（用根製作的V） 370 10.3.3 引理3（用V 表示根） 372 10.3.4 引理4 （V 的共軛） 374 10.4　 定理 378 10.4.1 定理1（“方程式的伽羅瓦群”的定義） 378 10.4.2 方程式x2 3x + 2 = 0的伽羅瓦群 380 10.4.3 方程式ax2 + bx + c = 0的伽羅瓦群 382 10.4.4 伽羅瓦群的製作方法 387 10.4.5 方程式x3 2x = 0的伽羅瓦群 390 10.4.6 定理2（縮小方程式的“伽羅瓦群”

） 394 10.4.7 伽羅瓦的錯誤 398 10.4.8 定理3（添加輔助方程式的所有的根） 399 10.4.9 重複縮小 401 10.4.10 定理4（縮小的伽羅瓦群的性質） 403 10.5　 定理5（以代數方式解方程式的充分必要條件） 404 10.5.1 伽羅瓦提出的問題 404 10.5.2 何謂“以代數方式解方程式” 407 10.5.3 泰朵拉的問題 408 10.5.4　p次方根的添加 409 10.5.5　伽羅瓦的添加元素 413 10.5.6　手忙腳亂的尤裡 418 10.6　 兩座塔 418 10.6.1　三次方程式的一般形式 418 10.6.2　四次方程式的一

般形式 420 10.6.3　二次方程式的一般形式 424 10.6.4　五次方程式不存在求根公式 426 10.7　 夏天結束 428 10.7.1　伽羅瓦理論的基本定理 428 10.7.2　展覽 432 10.7.3　夜晚的Oxygen 432 10.7.4　無可替代之物 434 尾聲 437 後記 444 參考文獻和導讀 447