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數學通識講義：搞懂人生最強思考工具，升級判斷與解決問題的能力

為了解決畢氏定理難題的問題，作者吳軍 這樣論述：

為何我們要學數學？為何數學對每個人都重要？  看似複雜的非數學問題，可以用數學架構來分析！   　　◆如何識破龐氏騙局、做好理財投資？ 　　◆為何保險最好找大公司？ 　　◆如何防範黑天鵝事件、規劃公司成長曲線？ 　　◆如何提高履歷通過初選的機率？ 　　◆如何在買房貸款時做出好的選擇？ 　　◆如何知道藏在貸款利息和傳銷中的秘密？   　　◆幾何學為何能成為法律的理論基礎？ 　　◆哲學家為何會向牛頓發起挑戰？ 　　◆為何十六世紀的數學家們不像今日搶先發表研究成果，卻寧可選擇保密？ 　　◆研究歷史需要用數學的思路？   　　理解數學的底層邏輯與方法   　　對很多人來說，數學是一堆枯燥的公式和數

字，看到就頭痛，學了也記不住，好不容易從學校畢業開始工作，認為此生與數學無關，往往看到數學就直接放棄。    　　事實上，即使沒有理工或商科背景，數學都是我們對世界、對變化、對規律，最基本最共通的理性思維方式；搞懂數學通識，一旦形成並養成習慣，面對問題時自然能夠更深入，把方方面面知識體系連結起來，提供一個思路，進而抽絲剝繭解決問題。   　　吳軍博士身為電腦科學家、矽谷投資人與暢銷書作家，他在書中從本質出發，告訴你如何抓住重點，把「自己能懂的數學」學好就夠；以講義形式深入淺出呈現數學思維，改變學數學的方法，藉此逐步訓練自己善用數學工具，強化邏輯能力，受益一生。   　　➤基礎：從「勾股定理」的

故事說起，數學與美學、建築以及音樂的發展息息相關。數學最基礎的原則就是邏輯上的一致和完備性，把看似孤立的知識串聯起來。   　　➤數字：數字概念能讓你體會到思考工具的進步——從具體到抽象，再到完全的想像。很多人依然以為「無窮大和無窮小」只是巨大和極小的數字，事實上它們與日常遇到的具體數字不同，代表的是變化的趨勢和快慢。   　　➤幾何：看數學如何從經驗中發展，逐漸構建成邏輯嚴密的知識體系——由直觀到簡單規律，擴展到定理、推論。許多數學並非是直接應用，而是對其他知識有借鑑意義，例如法學就受到數學公理化的影響。   　　➤代數：讓你的認知從個體上升到整體，從點對點的單線連接上升到規律性聯繫。  

　　➤微積分：和初等數學的工具不同，教會大家兩個進階的思考工具：從靜態累積到動態變化，以及從動態變化到靜態累積，例如薪水的上漲和財富增加的關係。   　　➤機率和數理統計：時至近代，很多現實問題很難有完全確定的答案。為了研究不確定性世界的規律，機率論和統計學逐漸發展起來，它們就是大數據思維的科學基礎。   　　這是一本給所有人的數學通識講義，看的是運用數學的思考方式，而不是解答技巧，我們可以借助數學思維來有效提升自己的邏輯、認知世界。此外，還能看到數學的有趣面：   　　→畢達哥拉斯為了否認「無理數」而害死自己的學生？ 　　→美國南北戰爭時期的總統林肯，竟然用「直角」的公理說服國會通過《解放奴

隸宣言》？ 　　→十六世紀數學家們為何要「決鬥」？他們對決的方式是什麼？   　　很多時候，數學不能直接解決我們的實際問題，但能提供我們一個思路。貫穿全書的數學發展史，可說是人類認知的發展史，可以由此訓練並提升認知：從直觀到抽象，從靜態到動態，從宏觀到微觀，從隨意到確定再到隨機。   　　本書透過關鍵知識點串聯起整個數學體系，明確理解數學的知識結構，幫助培養數學思維：   　　★增強判斷力，遇到問題知道如何判斷：提高邏輯推理能力和合乎邏輯的想像能力，有了這兩種能力，就能從事實出發，得到正確的結論。   　　★增強解決問題的能力，對於未知問題，知道如何一步步由淺入深、分析解決：再難的幾何題最終都

可以拆成五個最基本的公理。在工作中，再複雜的問題也可以分解為若干個能解決的簡單問題。   　　★增強運用工具的能力，遇到新的問題，知道用什麼方法解決或找誰幫忙。   好評推薦   　　通識教育的重要性一直被人們所忽略，實際上，想要達到精英水準，單靠一個個的專業化技能是不夠的。綜合素養的培育必不可少。   　　在通識教育中，數學素以高深著稱，讓文科生都能讀懂微積分極不容易，而《數學通識講義》做到了這一點。為什麼一個學理工的人能做到這一點呢？答案就在《閱讀與寫作通識講義》中。——羅振宇（得到App創始人）   　　這個世界的最底層規律，都是建立在數學的根基上。但是，很多人考大學時，只要能不再學數學

，什麼專業都可以。錯不在你。你和學好數學之間，其實只差一個好的老師。這個好的老師，他能夠把抽象的數學具體化，告訴你每一個縹緲的公式的現實作用，讓你恍然大悟，原來如此。這個好老師，就是吳軍老師。作為數學系科班畢業的商業顧問，我強烈推薦你閱讀吳軍老師的《數學通識講義》。——劉潤（潤米諮詢創始人）

畢氏定理難題進入發燒排行的影片

摺紙與尺規作圖課程設計之研究

為了解決畢氏定理難題的問題，作者林品捷 這樣論述：

    本研究旨在探討以摺紙法及尺規作圖作為課程設計之工具，以融入高中多元選修特色課程中。此課程活動設計分成三個部分，首先，用摺紙法去解決三等分任意角及倍立方問題，接著，分別以尺規作圖及摺紙法作出圓錐曲線，有一種說法是，它的發展起點可能源自於研究倍立方問題，最後，同樣用兩個工具作出三角形的三心，這個在國中幾何課程中極為重要卻尚未被研究者探究的主題。本研究在操作摺紙及尺規作圖的過程中，會將摺紙過程逐步分解並搭配摺紙公設及基本尺規作圖作說明，再利用國高中生所能了解的方法進行驗證。    綜合本研究之結論，歸納以下三點：1. 依不同角度種類(鈍角、直角、銳角)而採用不同的摺紙法來摺出任意角三等分，

發現Hisashi Abe及Jacques Justin的摺法，兩者間的關鍵在於公設6的使用，也就是需要同時對齊線上的兩個點，而這正是尺規作圖無法辦到的，故可從原理就發現是否能用尺規作圖作出。2. 利用摺紙法摺出圓錐曲線的包絡線，發現圓錐曲線的摺法只需要用到Huzita-Hatori公設2和公設3，由於Huzita-Hatori前五個公設的作圖能力等價於尺規作圖，故可看出圓錐曲線是可以利用尺規作圖的方式作出的。3. 利用摺紙法及尺規作圖作出三角形的三心，其中外心的位置會因為三角形的角度種類不同而改變，所以分別作出。此外，觀察等腰三角形和正三角形，發現前者的三心會位於同一條直線上，而後者的三心會

是同一點。    期望藉由本研究結論，呼應《總綱》「自發、互動、共好」的理念與「適性揚才、終身學習」的願景，作為教師將摺紙活動融入數學課程之參考，透過摺紙與尺規作圖之間相輔相成的關係，使學生在學習幾何過程中，不但有尺規作圖還有摺紙的思路，提升學生學習數學的動機，進一步培養學生正確使用工具的素養。

極簡貝氏統計學

為了解決畢氏定理難題的問題，作者佐佐木淳 這樣論述：

～最強的決策工具，也是最流行的統計學～ 從「結果」倒推「原因」，少少的情報就足以預測未來！   　　日本物理學家佐治晴夫曾說過：「所有的過去，都可以被改寫。」 　　福爾摩斯的經典名言：「排除一切不可能之後，最後剩下的無論再如何離奇，也必然是真相。」 　　這兩句名言所闡述的「反向推理」，背後所牽涉的概念，其實就是「貝氏統計」的核心。   　　隨著「大數據」、「資料庫」成為科技趨勢，「統計學」成為近年來的顯學。 　　其中，又以「貝氏統計學」為創新領域最廣泛提及的佼佼者。   　　◆◆什麼是貝氏統計學？◆◆ 　　我們生活周遭充滿各式各樣的「資訊」，例如節目收視率、考試分數、降雨機率、每戶家庭的存

款餘額。 　　利用這些資訊，掌握並分析現狀，藉此預測未來，這就是統計學的應用之道。 　　然而，資訊卻也可能隨著情況變化而隨時改變，例如許多猜謎節目，就很可能隨著提示增加而提高答對的機率。 　　不斷收集新的資料來掌握來更新機率，這樣的方法就稱作「貝氏定理」。 　　而「貝氏統計」正是以「貝氏定理」為基礎的統計方法，亦即根據「結果」尋找「原因」。   　　・針對罹患率低的傳染病，全民篩檢真有意義嗎？ 　　・電子信箱是如何過濾垃圾郵件？ 　　・假設飛機遭遇空難，如何縮小海面的搜尋範圍？   　　曾經令現代人棘手的數學難題，都能在貝氏統計的預測下，幫助我們跨出一大步！   　　◆◆貝氏統計好難學？皆因這

兩大難關◆◆ 　　本書作者為日本海上自衛隊的數學科教官，專門教授飛行預官的課程。 　　要駕駛飛機這架龐然巨物，飛行官的日常工作自然也免不了數學計算與估值，舉凡燃油消耗量、起飛數據、下降軌道等等。   　　多年的教學，讓作者在協助學生克服數學心魔的同時，也成功歸納出有效學習的竅門──關鍵就在於使「抽象」的邏輯思考，改以視覺呈現，眼見更能「直觀」理解！   　　初次學習貝氏統計的人，「符號」和「條件機率」往往成為難以逾越的高牆。 　　本書將推論與計算的過程，均以圖表詳細解說，搭配每一節的教學重點，先從暖身題提示核心觀念，再融入日常時常耳聞的經典例題，導入貝氏定理解題。   　　循序漸進的學習模式，

通過插圖使數字視覺化呈現，助你一一突破自學的關卡！   本書特色   　　◎全書以圖解＆步驟拆解，視覺化呈現運算的邏輯，助你突破貝氏統計的兩大難關──「符號」和「條件機率」。 　　◎蒙提霍爾問題、囚徒問題、垃圾郵件的過濾，援引6道經典例題，深化理解貝氏統計學，啟發你的應用靈感。 　　◎每小節的最後都有重點總結，學習後就能快速歸納要點。

先秦儒家的政治考古學

為了解決畢氏定理難題的問題，作者李雨鍾 這樣論述：

近世以來，儒家思想常常在政治領域遭受詬病，或被目為迂闊的理想主義，或被視作與集權專制同流。本書嘗試通過「考古學」的方法鬆動傳統思想史研究的限制，突破「道德—政治」二分的格局，進而考掘出蘊含在先秦儒家實踐中的另一種深層「政治性」。這種新的「政治」的發現，啟發自晚近政治哲學界對「政治」的重新定義，它將有助於我們在原本僅僅視作儒家道德性論述的地方，重新看到對於政治生活的構想。由此考掘出的儒家「政治」由兩個運作機制構成，一方面將呈現為橫向運作在「修身—人己—共同體」之間的動態結構，從而避免了任何同一化、集權化的共同體模式，另一方面將展現為「感受—形式」之間的拉扯過程，通過強調人的感受性來對抗「形式化

」的支配性結構。本書將深入先秦儒家的文本脈絡之中，分上下兩篇來進行這一考古之旅。上篇主要以《論語》與郭店楚簡作為討論對象，是為對早期儒家（孟子之前）話語的不同運作方式進行考察，下篇則以《孟子》、《荀子》及同時代的相關思想文本作為討論對象，旨在追尋先秦儒家在戰國政治話語脈絡中的演變系譜。上篇嘗試以四種不同的具體方式來運作「考古學」，第一章通過戲劇人物分析的方式來鬆動、活化覆蓋在《論語》上的既定理解圖式，第二章則在初步描繪出倫理性的「仁禮」結構的同時，通過君子與疏異他人的關係暴露出「政治」的缺席，第三章藉由郭店楚簡來審視這種政治缺席，從而翻轉傳統解讀模式，揭示出一種運作在「修身—人己—共同體」之間

的動態政治實踐，而第四章則轉而通過來自墨、法家的挑戰，在郭店楚簡「仁內義外」的觀念中，揭示出因「感受—形式」之張力而不斷衍生的儒家「政治」。下篇首先梳理「天道宇宙論」這一直接連通了「修身」與「共同體」的戰國新型政治話語，從而引入權力系譜學的考察向度，以便考察孟子與荀子如何分別在「感受—形式」與「修身—人己—共同體」的架構上，突破這種權力話語的時代壟斷。在孟子部分，「不忍」與「四端」看似統一於性善的道德人性論，實則呼應著「感受—形式」之間的政治行動；在荀子部分，「性情」、「定分」、「先王」的遞進層次同樣並未固化、同一化為一套垂直式的治理結構，而是呈現為「修身—人己—共同體」之間的動態實踐。孟子、

荀子所發展的儒家政治，最終成為不同於「天道宇宙論」的一種「天命—共通」的實踐形態，體現為儒家君子在「天—命」的限制與召喚下，無限地尋求著與他人的共通。最後，我們嘗試溢出考古學式的歷史考察，直接引入當代政治哲學的思考，在「潛能」、「複數性」、「共通體」這三個層次上，進一步激發出儒家的當代政治潛能。